这里涉及到矩阵的四个基本空间,即矩阵A的值域空间,零空间和矩阵A’的值域空间和零空间.
设A是m*n的矩阵,称其列向量构成的子空间为A的值域空间,R（A）,即任意n*1维的向量x,有Ax=b,b是A值域空间中的一个元素,所有的b构成了A的值域空间.A的零空间由所有满足方程Ax=0的x构成,N（A）.同理我们也可以得到A‘的值域空间和零空间.
关于正交空间,其定义为：设M是内积空间V的子空间,N为M的正交空间,那么N中的任意向量均与M中的任意向量正交,即
N={x属于V | = 0（即m'x=0）,对所有的m属于M都成立}
矩阵A的值域空间的正交空间是其转置A'的零空间.证明如下：
设x属于R（A）的正交空间,那么便存在=0,此处的Ay用于表示R（A）,进而可以得到：y'A'x=0,此处用到了转置的运算性质（AB）’=B‘A’.而根据y'A'x=0,我们可以得到=0,由y取值的任意性,我们可以得到A'x=0,即x属于A’的零空间N（A'）,进而得到R（A）的正交空间是N（A'）的结论.