Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0．且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b

Answer 1

（1）∵a ₂=1+d，a ₅=1+4d，a ₁₄=1+13d，且a ₂，a ₅，a ₁₄成等比数列，

∴（1+4d） ²=（1+d）（1+13d），解得d=2，

∴a _n=1+（n-1）•2=2n-1，

又b ₁=a ₂=3，b ₂=a ₅=9，

∴q=3， b n =3• 3 n-1 = 3 n ；

（2）

c 1

b 1 +

c 2

b 2 +…+

c n

b n =a _n+1，即

C 1

3 +

C 2

3 2 +…+

C n

3 n =2n+1 ①，

则n≥2时，

C 1

3 +

C 2

3 2 +…+

C n-1

3 n-1 =2n-1 ②，

①-②得，

C n

3 n =2 ，所以 C n =2• 3 n （n≥2），

n=1时，C ₁=9，

所以 C n =

2• 3 n ，n≥2

9，n=1 ，

所以c ₁+c ₂+…+c ₂₀₁₃=9+2•3 ²+2•3 ³+…+2•3 ²⁰¹³

=9+2•

3 2 (1- 3 2012 )

1-3 =3 ²⁰¹⁴；