证明：1.奇数可写为2n+1,则其平方为（2n+1）^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1
式中n(n+1)为相邻的两个自然数之积,其中必有一个偶数,故积为2的倍数；4n(n+1)必为8的倍数.因此4n(n+1)+1被8除余1.
2.奇数可写为10n+1、10n+3、10n+5、10n+7、或10n+9五种形式之一,将其平方：
(10n+1)^2=100n^2+20n+1=20n(5n+1)+1
(10n+3)^2=100n^2+60n+9=20n(5n+3)+9
(10n+5)^2=100n^2+100n+25=20n(5n+5)+25
(10n+7)^2=100n^2+140n+49=20n(5n+7)+49
(10n+9)^2=100n^2+180n+81=20n+(5n+9)+81
上面各式中,前一个加数均含有20n,则十位数必为偶数,后一个加数十位为0、2、4、8.显然也是偶数.故奇数的完全平方数十位必为偶数.
3.一个平方数的个位只与原数的个位有关,列出个个位数的平方数：
1^2=1 2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=25
6^2=36 7^2=49 8^2=64 9^2=81 0^2=0
可见,个位是6的完全平方数原数个位只能是4和6,于是可写为10n+4或10n+6.将其平方
（10n+4）^2=100n^2+80n+16=20(5n^2+4n)+16
(10n+6)^2=100n^2+120n+36=20(5n^2+6n+1)+16
上面二式,前一个加数为20的倍数,十位数为偶数,后一个加数的十位数为1或3,偶数加1或3,结果必为奇数.
4.任何一个自然数除以3,余数不外乎0、1、2三种情况,于是自然数必可写为3m、3m+1或3m+2.将其平方：
（3m）^2=9m^2
(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3(3m^2+2m)+1
(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3(3m^2+4m+1)+1
上面三式,前一个加数含有因子3,后一加数为0或1,所以应当可以写完3n或3n+1的形式；
同理可证：
（4m）^2=16m^2
(4m+1)^2=16m^2+8m+1=4(4m^2+2m)+1
(4m+2)^2=16m^2+16m+4=4(4m^2+4m+1)
(4m+3)^2=16m^2+24m+9=4(4m^2+6m+2)+1
可知,以上格式均为4n或4n+1的形式.
（5m）^2=25m^2
(5m+1)^2=25m^2+10m+1=5(5m^2+2)+1
(5m+2)^2=25m^2+20m+4=5(5m^2+4m)+4
(5m+3)^2=25m^2+30m+9=5(5m^2+6+1)+4
(5m+4)^2=25m^2+40m+16=5(5m^2+8+3)+1
可见,题中给出的结论不正确!应当是5n或5n±1才对,即被5 除余数为0、1、4.三种情况.例如：7^2=49,8^2=64都不能表示为5n或5n+1的形式.
（8m）^2=64m^2
(8m+1)^2=64m^2+16m+1=8(8m^2+2m)+1
(8m+2)^2=64m^2+32m+4=8(8m^2+4m)+4
(8m+3)^2=64m^2+48m+9=8(8m^2+6m+1)+1
(8m+4)^2=64m^2+64m+16=8(8m^2+8m+2)
(8m+5)^2=64m^2+80m+25=8(8m^2+10m+3)+1
(8m+6)^2=64m^2+96m+36=8(8m^2+12m+4)+4
(8m+7)^2=64m^2+112m+49=8(8m^2+14m+6)+1
可见,完全平方数可以写成8n、8n+1和8n+4的形式,题中给出的结论也不对!例如：10^2=100,14^2=196均无法写成8n或8n+1的形式.
5.个位数为奇数的完全平方数必然是奇数的平方数,必可写为10n+1、10n+3、10n+5、10n+7和10n+9几种形式,
（10n+1）^2=100n^2+20n+1=20(5n^2+n)
(10n+3)^2=100n^2+60n+9=20(5n^2+3n)+9
(10n+5)^2=100n^2+100n+25=20(5n^2+5n+1)+5
(10n+7)^2=100n^2+140n+49=20(5n^2+7n+2)+7
(10n+9)^2=100n^2+180n+81=20(5n^2+9n+4)+1
可见,前一个加数含有因子20,所以其十位必为偶数,后一个加数为奇数.因此十位和个位均为奇数的数不可能是完全平方数.