（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：-2x 2+（a+3）x+1-2a=-2x 2-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
∴f（x）=-2x 2+7；易知其对称轴为：x=0
∴当x=0时，f（x） max=7，当x=3时，f（x） min=-11；
（2）当a≤1时，f（x）=-2x 2+（a+3）x+1-2a，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
设x 1＞x 2≥1，则f（x 1）-f（x 2）=）=-2x 1 2+（a+3）x 1+1-2a-（-2x 2 2+（a+3）x 2+1-2a，）
=-2（x 1 2-x 2 2）+（a+3）（x 1-x 2）
=（x 1-x 2）[-2（x 1+x 2）+a+3]
∵x 1＞x 2≥1，则x 1-x 2＞0，且-2（x 1+x 2）＜-4，
∵a≤1，∴a+3≤4，∴-2（x 1+x 2）+a+3＜0
∴f（x 1）-f（x 2）＜0，即f（x 1）＜f（x 2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
（3）对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，
即-2x 2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在a∈[-3，+∞）上恒成立，
即（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，
设h（a）=（x-3）a+2x+1，
∴
x-3＞0
h(-3)＞0 ，即
x-3＞0
-3(x-3)+2x+1＞0 ，
解得3＜x＜10，
∴实数x的取值范围为（3，10）．