解题思路:(1)求出导函数f′(x),利用导数的几何意义求出在点(0,f(0))处的切线的方程,再根据点斜式写出切线方程,把点(-1,2)代入切线方程,列出关于m的方程,求解即可得到m的值;(2)将∃x∈[0,3],f(x)≤m,利用参变量分离转化为g(x)=x3-92x2+6x≤m-m2,即求g(x)min≤m-m2,再利用导数求出g(x)的最小值即可,求解即可得到m的取值范围.
(1)∵f(x)=x3-[9/2]x2+6x+m2,
∴f′(x)=3x2-9x+6,
∴切线的斜率k=f′(0)=6,又切点(0,m2),
根据点斜式,可得斜线的方程为y-m2=6x,即y=6x+m2,
∵函数f(x)在点(0,f(0))处的切线过点(-1,2),
∴2=6×(-1)+m2,
∴m=±2
2.
(2)∵∃x∈[0,3],f(x)≤m,则等价于x3-
9
2x2+6x≤m-m2在[0,3]有解,
令g(x)=x3-
9
2x2+6x,
∴x3-
9
2x2+6x≤m-m2在[0,3]有解,即g(x)min≤m-m2,
以下求g(x)在[0,3]的最小值,
令g′(x)=3x2-9x+6=0,解得x=1或x=2,
当x∈(0,1)时,g′(x)>0,即g(x)在(0,1)单调递增,
当x∈(1,2)时,g′(x)<0,即g(x)在(1,2)单调递减,
当x∈(2,3)时,g′(x)>0,即g(x)在(2,3)单调递增,
∴g(x)在x=2处取得极小值g(2)=2,
又∵g(0)=0,g(3)=[9/2],
∴g(x)min=0,
∴0≤m-m2,解得0≤m≤1,
∴m的取值范围为[0,1].
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查了导数在某点处的几何意义即在改点处切线的几何意义,考查了运用导数求函数的最值.考查了存在性问题等价转化为有解问题,对于不等式有解问题,通常选用参变量分离的方法,转化为求函数的最值.属于中档题.