证明:(1)∵
,
,∴DE垂直平分AC,
∴
,∠DFA=∠DFC =90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B.
∴△DCF∽△ABC.
∴
,即
.
∴AB·AF=CB·CD.
(2)①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴
,∴
.
∴
(
).
②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.
此时DP=DE,PB+PA=AB.
由(1),
,
,得△DAF∽△ABC.
EF∥BC,得
,EF=
.
∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.
∴AD=10.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8.
∴
.
∴当
时,△PBC的周长最小,此时
.
(1)根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB,从而利用有两对角对应相等的两三角形相似,得到△DFA∽△ACB,根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD;
(2)①根据勾股定理求出AC的长,从而求得CF的长,根据题意四边形BCDP是梯形,根据梯形的面积公式即可得到求y关于x的函数关系式;②根据两点之间线段最短,当点P在AB上时,PA+PB最小即点P与E重合时,△PBC周长最小,从而利用勾股定理分别求得AC、AF、AE、DE的长,从而就求得了x的值.