如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.

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  • 证明:(1)∵

    ,∴DE垂直平分AC,

    ,∠DFA=∠DFC =90°,∠DAF=∠DCF.

    ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,

    ∴∠DCF=∠DAF=∠B.

    ∴△DCF∽△ABC.

    ,即

    ∴AB·AF=CB·CD.

    (2)①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,

    ,∴

    ).

    ②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.

    显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.

    此时DP=DE,PB+PA=AB.

    由(1),

    ,得△DAF∽△ABC.

    EF∥BC,得

    ,EF=

    ∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.

    ∴AD=10.

    Rt△ADF中,AD=10,AF=6,

    ∴DF=8.

    ∴当

    时,△PBC的周长最小,此时

    (1)根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB,从而利用有两对角对应相等的两三角形相似,得到△DFA∽△ACB,根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD;

    (2)①根据勾股定理求出AC的长,从而求得CF的长,根据题意四边形BCDP是梯形,根据梯形的面积公式即可得到求y关于x的函数关系式;②根据两点之间线段最短,当点P在AB上时,PA+PB最小即点P与E重合时,△PBC周长最小,从而利用勾股定理分别求得AC、AF、AE、DE的长,从而就求得了x的值.