Question

设A,B均为n阶正交矩阵,且| A| +| B| =0,则| A+B|

Answer 1

由已知A,B均为n阶正交矩阵

所以 AA^T=A^TA=E,BB^T=B^TB=E

且正交矩阵的行列式等于1或-1

因为 |A|+|B|=0

所以|A|,|B|必为一正一负

所以 |A||B|=-1

所以 |A^T||B^T|=-1

所以 -|A+B|

= |A^T||A+B||B^T|

= |A^T(A+B)B^T|

= |A^TAB^T+A^TBB^T|

= |B^T+A^T|

= |(A+B)^T|

= |A+B|

所以有 2|A+B| = 0

所以 |A+B| = 0.