Question

动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x 2 =4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦．

Answer 1

（1）设直线BC为y=kx+1，代入x ²+y ²=4得，（1+k ²）x ²+2kx-3=0，

S=

1

2 |FA|| x 1 - x 2 |

=

| x 1 - x 2 |

2

=

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2

2

=

4 k 2 +3

(1+ k 2 ) 2

=

4-(

1

1+ k 2 -2 ) 2 ≤

3 ．

当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为

3 ．

（2）设圆心 (a，

a 2

4 ) ，则圆为 (x-a ) 2 +(y-

a 2

4 ) 2 = a 2 +(2-

a 2

4 ) 2 ．

当y=0时，x=a±2，

∴|MN|=4，

令∠MAN=θ，

由余弦定理，得16=m ²+n ²-2mncosθ，

又由 S △AMN =

1

2 mnsinθ-

1

2 |MN| y A

=

1

2 ×4×2=4 ，

∴

16

mn =2sinθ ，

∴

m

n +

n

m =2(sinθ +cosθ+

=2

2 sin(θ+

π

4 ) ≤2

2 ，

当 θ=

π

4 时取得最大值．