定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也作分解因式.
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础；学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.
分解因式与整式乘法互为逆变形.
[编辑本段]因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法,剩余定理法等.
[编辑本段]基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
注意：把2a*2+1/2变成2(a*2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.
平方差公式：a*2-b*2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a*2±2ab＋b*2＝(a±b)*2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
立方和公式：a*3+b*3=(a+b)(a*2-ab+b*2)；
立方差公式：a*3-b*3=(a-b)(a*2+ab+b*2)；
完全立方公式：a*3±3a*2b＋3ab*2±b*3=(a±b)*3．
其余公式请参看上边的图片.
例如：a*2 +4ab+4b*2 =(a+2b)*2(参看右图)．
[编辑本段]竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法.
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.
同样,这道题也可以这样做.
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.
2. x3-x2+x-1
解法：=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决.
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决.
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况.
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
a b
×
c d
例如：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式.(事实上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
⑻换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法.
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时,可以令y=x^2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以参看右图.
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6时,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
⑿特殊值法
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.
⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4．
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以参看右图.
⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.用一道例题来说明如何使用.
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错.
[编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要合适.”
几道例题
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的过程也可以参看右图.）
当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.
3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.
证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0,
即a＝c,△ABC为等腰三角形.
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式.
-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
[编辑本段]因式分解四个注意：
因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下：首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”. 现举下例 可供参考
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式.
－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”,指“负号”.如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误
例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式.－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”.如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式；这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1.
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.即分解到底,不能半途而废的意思.其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解.防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误.
考试时应注意：
在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的.