Question

如图所示，在长方体，ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，E是AB的中点，F是A1C的中点

Answer 1

解题思路：（1）连接BD₁，AD₁，由长方体的几何特征，可得F也为BD₁的中点，进而根据三角形中位线定理可得EF∥AD₁，结合线面平行的判定定理得到EF∥平面AA₁D₁D；

（2）连接A₁D，由正方形的对角线互相垂直可得A₁D⊥AD₁，由由长方体的几何特征，可得CD⊥AD₁，由线面垂直的判定定理可得AD₁⊥平面A₁CD，结合（1）中结论及线面垂直的第二判定定理，可得EF⊥平面A₁CD；

（3）根据等体积法，可得三棱锥B-A₁DF的体积等于三棱锥A₁-BDF三棱锥A₁-BDF的体积等于三棱锥A₁-BCD减三棱锥F-BCD，根据AB=2AD=2AA₁=2，F是A₁C的中点，求出棱锥的底面积及高，代入棱锥体积公式，可得答案．

证明：（1）连接BD₁，AD₁，

由长方体的几何特征，可得F也为BD₁的中点

又∵E是AB的中点，

∴EF为△BAD₁的中位线

∴EF∥AD₁
又∵EF⊄平面AA₁D₁D，AD₁⊂平面AA₁D₁D

∴EF∥平面AA₁D₁D；

（2）连接A₁D，∵AD=AA₁，

∴四边形AA₁D₁D为正方形

∴A₁D⊥AD₁，

又∵CD⊥AD₁，A₁D∩CD=D

∴AD₁⊥平面A₁CD

又∵EF∥AD₁
∴EF⊥平面A₁CD；

（3）∵三棱锥B-A₁DF的体积等于三棱锥A₁-BDF

三棱锥A₁-BDF的体积等于三棱锥A₁-BCD减三棱锥F-BCD

∵AB=2AD=2AA₁=2，F是A₁C的中点

∴S_△BCD=1

三棱锥A₁-BCD的高h=1，三棱锥F-BCD的高h′=[1/2]

∴三棱锥B-A₁DF的体积V=[1/3]•1（1-[1/2]）=[1/6]

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得EF∥AD1，（2）的关键是证得AD1⊥平面A1CD，（3）的关键是将三棱锥B-A1DF的体积转化为三棱锥A1-BCD减三棱锥F-BCD的体积．