sin的立方a+cos的立方a=1,求sina+cosa与sin的四次a+cos的四次a的值

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  • sin³a+cos³a=1

    (sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)=1

    即(sina+cosa)(1-sinacosa)=1

    令 sina+cosa=t,则t²=1+2sinacosa,

    所以 sinacosa=(t²-1)/2,

    从而 条件化为

    t[1-(t²-1)/2]=1

    整理,得 t³ -3t+2=0

    变形 t³ -t²+t²-t -2t+2=0

    t²(t-1)+t(t-1)-2(t-1)=0

    (t-1)(t²+t-2)=0

    (t-1)²(t+2)=0

    因为 t=sina+cosa=√2sin(a+π/4),从而 |t|≤√2

    所以 t+2不为0,从而 t=1

    即 sina+cosa=1

    从而 sinacosa=(t²-1)/2=0

    所以 sin⁴a+cos⁴a=(sin²a+cos²a)²-2sin²acos²a=1-0=1