希望我的表达思路清晰,你能看得懂.
（1）当F落在AC上时.如图1.先证⊿AGF≌⊿FEC,这个不难证. FE//AB => ∠FAG=∠CFE （同位角原理） ∠AGF=∠FEC = 90度 以上两点=>⊿AGF≌⊿FEC AG/FE=GF/EC （相似三角形对应边成比例） 由上式变换得FE*GF=AG*EC BE=FE=BG=GF 所以：BE*BE=AG*EC=（AB-BG）（BC-BE） BE*BE=（3-BE）（6-BE）=18-9BE+BE*BE 解得 BE=2 （2）这个比较难,你注意看.假设这样的直角三角形存在,那么通过平移t使B到B’,E到E’,得到如下两种可能,先看图2
假设⊿B'MD为直角三角形,∠B'MD为直角,延长E'M,AD,相交于点N.B'M^2+DM^2=B'D^2 （勾股定理） B'M^2=B'E'^2+E'M^2 (勾股定理） DM^2=DN^2+MN^2 （勾股定理） B'D^2=B'E^2+DE^2 (勾股定理）由上推出： B'E^2+DE^2=B'E'^2+E'M^2+MN^2+DN^2 (1)由图可以证 ⊿CED≌⊿CE'F' （这个不难证） EF/EC=E'M/E'C=2/4=1/2 (相似三角形对应边成比例,） E'M= E'C/2 EE'= t => E'C=EC-EE'=4-t 由上可推出：E'M=E'C/2=2-t/2 (2) MF'=t/2 (3) B'E=BE-BB'=2-t (4) DE=AB=3 (5) B'E'=2 正方形边长 (6) MN=MF'+F'N=t/2+1 (7) DN=EE'=t (8)将（2)至（8） 套入上面（1）式得 （2-t）^2+3^2= 2^2+ (2-t/2)^2+ (t/2+1)^2+t^2 展开 4-4t+t^2+9=4+4-2t+(t/2)^2+(t/2)^2+t+1+t^2 化简 t^2-4t+13=9-t+(3/2)t^2 (t^2)/2+3t-4=0 t^2+6t-8=0 t1=［-6+√（6^2+4*8)］/2 ； t2=［-6-√6^2+4*8)］/2 （韦达定理） 可知 t 必须为正数,所以t2去掉,t1=[√（6^2+4*8)-6] / 2 =( √68 - 6)/2≈(8.246-6)/2=1.123这是第一种情况,t≈1.123 第二种情况看图3
同样假设⊿B'MD为直角三角形,∠DB'M为直角,延长E'M,AD,相交于点N.B'M^2+B'D^2= DM^2 （勾股定理） B'M^2=B'E'^2+E'M^2 (勾股定理） DM^2=DN^2+MN^2 （勾股定理） B'D^2=B'E^2+DE^2 (勾股定理）由上推出： DN^2+MN^2=B'E'^2+E'M^2+B'E^2+DE^2 (1)跟上述同样方法可得 E'M=E'C/2=(4-t)/2=2-t/2 (2) MF'=2-ME'=2-(2-t/2)=t/2 (3) DN=t (4) MN=1+t/2 (5) B'E'=2 正方形边长 (6) B'E=BB'-BE=t-2 (7) DE=AB=3 已知条件 （8） 将(2)至(8)套入（1）得 t^2+(1+t/2)^2=2^2+(2-t/2)^2+(t-2)^2+3^2展开 t^2+1+t+(t/2)^2=4+4-2t+(t/2)^2+t^2-4t+4+9化简 (5/4)t^2+t+1=21-6t+(5/4)t^2 7t=20 解得 t=20/7≈2.857终上：无论 t =1.123 或 t = 2.857 都小于当E移动到与C重合时的4距离,所以t是存在的.