已知△ABC的面积S满足1≤S≤√3,且向量AC*向量CB=-2,∠ACB=θ.(1)求函数f(θ)=sin(θ-Π/4

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  • 解析,(1)由于,AC*CB=-2,那么,CA*CB=2,

    又因为,CA*BC=|CA|*|BC|*cosθ=2,且S=|CA|*|CB|*sinθ/2

    故,S=tanθ,又1≤S≤√3,那么,45°≤θ≤60°.

    f(θ)=sin(θ-45°)+4√2sinθcosθ-cos(θ-45°)-2

    =2sin(θ-45°)+2√2sin2θ-2

    那么,f'(θ)=2cos(θ-45°)+4√2cos(2θ)-2,由于f'(θ)在区间【45°,60°】之间为减函数,

    且,f'(θ)最大值为f'(45°)=0,也就是f'(θ)≤0,f(θ)为减函数.

    因此,f(θ)的最大值就是f(45°)=2√2-2.

    (2)设t=|2m-3n|=√(4m²+9n²-12m*n)=√[13-12sin(2A+2B)]

    由于,2A+2B=2(180°-θ),故240°≤2A+2B≤270°,-1≤sin(2A+2B)≤-√3/2

    因此,√(13+6√3)≤t≤5.

    也就是,√(13+6√3)≤|2m-3n|≤5