Question

已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn=80，S2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值．

Answer 1

解题思路：先根据S_n和S_2n的值判断q≠1，再利用求和公式根据S_n和S_2n的值求出q^n₌₈₁进而推断q＞1，断定数列为递增数列，即最大一项是a_n，进而求出a₁和q的关系式代入S_n=80即可求出n．

由已知a_n＞0，得q＞0，若q=1，则有S_n=na₁=80，S_2n=2na₁=160与S_2n=6560矛盾，故q≠1．

∵

a1(1−qn)

1−q＝80(1)

a1(1−q2n)

1−q＝6560(2)，由（2）÷（1）得qⁿ=81（3）．

∴q＞1，此数列为一递增数列，在前n项中，最大一项是a_n，即a_n=54．

又a_n=a₁q^n-1=

a1

qqⁿ=54，且qⁿ=81，∴a₁=[54/81]q．即a₁=[2/3]q．

将a₁=[2/3]q代入（1）得[2/3]q（1-qⁿ）=80（1-q），即[2/3]q（1-81）=80（1-q），解得q=3．又qⁿ=81，∴n=4．

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的应用．解题的关键是通过q判断数列是递增还是递减，还是先增后减或先减后增．