∵短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点
∴A（2,0）
∴b=2
又∵e=c/a=√2/2
∴a=√2c
又∵a²=b²+c²
∴2c²=4+c²
∴c=2
∴a=2√2
∴椭圆：x²/4+y²/8=1
令N（n,0）,如果直线PQ无斜率,则由椭圆对称性可得∠PNM=∠QNM,于是只考虑PQ有斜率的情况,令PQ斜率为k,M（1,0）在PQ上,于是
PQ：y=k（x-1）
代入椭圆方程得
x²/4+k²（x-1）²/8=1
整理得
（2+k²）x²-2k²x+k²-8=0
于是
x=[k²±√（6k²+16）]/（2+k²）
y=k（x-1）=[-2k±k√（6k²+16）]/（2+k²）
这其实就是P、Q的坐标,令PN、QN的斜率分别为Kp、Kq,合记做K,由于直线NM就是x轴,故∠PNM=∠QNM只需Kp=-Kq,P、Q坐标已求出,N（n,0）已令,于是
K=（y-0）/（x-n）=y/（x-n）
={[-2k±k√（6k²+16）]/（2+k²）}/{[k²±√（6k²+16）]/（2+k²）-n}
=[-2k±k√（6k²+16）]/[k²±√（6k²+16）-2n-nk²]
【上式分子分母同乘[-2k∓k√（6k²+16）]进行分子有理化,并记A=√（6k²+16）】
=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³∓2kA+4nk+2nk³∓k³A-6k³-16k±2nkA±nk³A）
由Kp=-Kq得
（为了更容易看明白,我再多写点——
不妨Kp=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³-2kA+4nk+2nk³-k³A-6k³-16k+2nkA+nk³A）则
Kq=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³+2kA+4nk+2nk³+k³A-6k³-16k-2nkA-nk³A）
-Kq=[4k²-k²（6k²+16）]/（2k³-2kA-4nk-2nk³-k³A+6k³+16k+2nkA+nk³A）
对比Kp=-Kq得
-2k³+4nk+2nk³-6k³-16k=2k³-4nk-2nk³+6k³+16k
于是
2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0 ）
2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0
2nk³+4nk=8k³+16k
上式恒成立要同时满足
2n=8 4n=16
恰好存在n=4同时满足以上二式
因此得N（4,0）
综合上述,在x轴上存在定点N（4,0）,使∠PNM=∠QNM.