Question

函数f(x) 的定义域为R，且对任意x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6

本试题主要是考查了函数的奇偶性和单调性的运用。

（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)

即f(x)+f(-x)=f(0)，故∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数，并运用定义法证明单调性。

（2）∵f(x)在R上单调递减，

∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3)从而得到。

（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)

即f(x)+f(-x)="f(0)" ………………………(2分)

∴f(0)+f(0)=f(0)即f(0)=0

∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数………………………(4分)

又任取

且

∵则

…………………（6分）

∵

∴

∴

，f(x)是R上的减函数………………………(8分)

（1）∵f(x)在R上单调递减，

∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3) ………………(9分)

由f(1)=-2得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6

又f(-3)=-f(3)=6……………(11分)

∴f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6……………………(12分)