解题思路：（1）当a=2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y=f（x）在
[
1
2
，2]
上的最大值．
（2）先求得
g′(x)＝
a
x
−2x+a
，因为g（x）在区间（0，3）上不单调，所以g'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根．由g'（x）=0，求得
a＝
2
x
2
x+1
=
2(x+1+
1
x+1
)−4∈(0，
9
2
)
，由此可得a的范围．
（3）由题意可得，f（x）-mx=0有两个实根x1，x2，化简可得
m＝
2(ln
x
1
−ln
x
2
)
x
1
−
x
2
−(
x
1
+
x
2
)
．可得h′（αx1+βx2）=
2
α
x
1
+β
x
2
−
2(ln
x
1
−ln
x
2
)
x
1
−
x
2
+(2α−1)(
x
2
−
x
1
)
，由条件知（2α-1）（x2-x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．
（1）∵函数f（x）=alnx-x2 ，可得当a=2时，f′(x)＝
2
x−2x＝
2−2x2
x，…（2分）
故函数y=f（x）在[[1/2]，1]是增函数，在[1，2]是减函数，
所以f(x)max＝f(1)＝2ln1−12＝−1．…（4分）
（2）因为g（x）=alnx-x2+ax，所以g′(x)＝
a
x−2x+a．…（5分）
因为g（x）在区间（0，3）上不单调，所以g'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由g'（x）=0，有a＝
2x2
x+1=
(x+1)2−2(x+1)+1
x+1=2(x+1+
1
x+1)−4∈(0，
9
2)，（x∈（0，3）），…（6分）
综上可得，a∈(0，
9
2)．…（8分）
（3）由题意可得，h′(x)＝
2
x−2x−m，又f（x）-mx=0有两个实根x1，x2，
∴
2lnx1−
x21−mx1＝0
2lnx2−
x22−mx2＝0，两式相减，得2(lnx1−lnx2)−(x12−
x22)＝m(x1−x2)，
∴m＝
2(lnx1−lnx2)
x1−x
点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．