Question

高中数学题（立体几何）三棱锥S-ABC,SA=BC,SB=AC,SC=AB,侧面与底面所成的二面角大小分别为α,β,γ.

Answer 1

这道题,涉及一个思路,该思路特别狭窄,这道题出得不是很好：

一个面在另一个面的射影的面积,除以该面的面积 = 两个面夹角的余弦值；

假设S在面ABC内的射影为O,根据上面的原理有：

侧面与底面所成角的余弦值分别为：

S△OAB/S△SAB,S△OBC/S△SBC,S△OAC/S△SAC

cosα+cosβ+cosγ=

（S△OAB/S△SAB）+（S△OBC/S△SBC）+（ S△OAC/S△SAC）.1

∵SA=BC,SB=AC,SC=AB

根据三边相等,三角形全等,得出：

S△SAB=S△SBC=S△SAC=S△ABC.2

且：S△OAB+S△OBC+S△OAC=S△ABC.3

将2,3式代入1式即得：cosα+cosβ+cosγ=1

这道题出得有点偏了,高中一般情况下不考射影来求二面角吧,另外试题有点漏洞,就是α,β,γ都必须是锐角,不然S在面ABC的射影落到△ABC外边,结果就不是这样子的了.