Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，A1A的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）证明EF∥DC₁，可得D，C₁，E，F四点在同一个平面上；

（Ⅱ）（i）求出三棱锥A₁-EFD₁的体积，即可求余下几何体的体积；

（ii）求出△D₁EF的面积，即可求余下几何体的表面积．

（I）答：D，C₁，E，F四点在同一个平面上…（1分）

证明：连结AB₁，由E，F分别为棱A₁B₁，A₁A的中点，所以EF∥AB₁，

又由正方体知AB₁∥DC₁，

由平行公理得EF∥DC₁，因此，D，C₁，E，F四点在同一个平面上…（4分）

（II）（i）由三棱锥A₁-EFD₁的体积V1＝

1

3(

1

2×1×1)×2＝

1

3…（6分）

所以，余下几何体的体积V=V_正方体-V₁=23−

1

3＝

23

3…（8分）

（ii）依题意可得D1F＝D1E＝

5，在△D₁EF中，过D₁作D₁H垂直于EF，垂足为H，则D1H＝

5−

1

2＝

3

2

2，所以△D₁EF的面积S△D1EF＝

1

2×

2×

3

2

2＝

3

2…（10分）

余下几何体的表面积S=.3×22+(3×22−1−1−

1

2)+

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面的基本性质及推论．

考点点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．