若抛物线y=ax2-1上总存在两点关于直线x+y=0对称,则实数a的取值范围是(  )

1个回答

  • 解题思路:可设出对称的两个点P,Q的坐标,利用两点关于直线x+y=0成轴对称,可以设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,所以方程组y=x+by=ax2−1有两组不同的实数解,利用中点在直线上消去参数b,建立关于a的函数关系,求出变量a的范围.

    设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设

    直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在,

    所以方程组

    y=x+b

    y=ax2−1有两组不同的实数解,即得方程ax2-x-(1+b)=0.①

    ∵△=1+4a(1+b)>0.②

    由中点坐标公式可得,x0=

    x1+x2

    2=[1/2a],y0=x0+b=[1/2a]+b.

    ∵M在直线L上,

    ∴0=x0+y0=[1/2a]+[1/2a]+b,

    即b=-[1/a],代入②解得a>[3/4].

    故实数a的取值范围([3/4],+∞)

    故选B

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系.

    考点点评: 本题考查了直线与抛物线的位置关系,以及对称问题,体现了方程的根与系数关系及方程思想的应用,属于中档试题,有一定的计算量.