解题思路：（1）由f（x）=ax-1-lnx，求得f′（x）=[ax-1/x]．然后分a≤0与a＞0两种情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；
（2）函数f（x）在x=1处取得极值，由（1）的讨论可得a=1．将不等式f（x）≥bx-2化简整理得到1+[1/x]-[lnx/x]≥b，再构造函数g（x）=1+[1/x]-[lnx/x]，利用导数研究g（x）的单调性，得到[g（x）]min=1-
1
e
2
]．由此即可得到实数b的取值范围；
（3）设函数F（t）=
e
t
ln(1+t)
，其中t＞e-1．利用导数研究F（x）的单调性，得到得F（t）是（e-1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e-1时，F（x）＞F（y）即
e
x
ln(1+x)
＞
e
y
ln(1+y)
，变形整理即可得到不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）成立．
（1）∵f（x）=ax-1-lnx，∴f′（x）=a-[1/x]=[ax-1/x]，
当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞0时，f'（x）＜0得 0＜x≤[1/a]，f'（x）＞0得x＞[1/a]，
∴f（x）在（0，[1/a]）上单调递减，在（[1/a]，+∞）上单调递增，
综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当a＞0时，f（x）在（0，[1/a]）上是减函数，在（[1/a]，+∞）上是增函数．
（2）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴根据（1）的结论，可得a=1，
∴f（x）≥bx-2，即x+1-lnx≥bx，两边都除以正数x，得1+[1/x]-[lnx/x]≥b，
令g（x）=1+[1/x]-[lnx/x]，则g′（x）=-[1
x2-
1-lnx
x2=-
1
x2（2-lnx），
由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上递减，
由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上递增，
∴g（x）min=g（e2）=1-
1
e 2，
可得b≤1-
1
e 2，实数b的取值范围为（-∞，1-
1
e 2]．
（3）令F（t）=
et
ln(1+t)，其中t＞e-1
可得F'（t）=
etln(1+t)-et•
1/1+t
ln2(1+t)]=
et[ln(1+t)-
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．