已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x.

2个回答

  • 解题思路:(1)利用平方关系展开,结合二倍角公式、两角差的正弦函数,化为一个角的一个三角函数的形式,即可求函数f(x)的最小正周期;

    (2)确定函数的单调增区间

    [−

    π

    8

    8

    ]

    π

    12

    π

    6

    ∈[−

    π

    8

    8

    ]

    ,即可试比较

    f(−

    π

    12

    )

    f(

    π

    6

    )

    的大小.

    (1)f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=1+2sinxcosx-2cos2x(2分)

    =sin2x-cos2x(3分)

    =

    2(

    2

    2sin2x−

    2

    2cos2x)(4分)

    =

    2sin(2x−

    π

    4).(5分)

    ∴函数f(x)的最小正周期T=

    2=π.(6分)

    (2)由2kπ−

    π

    2≤2x−

    π

    4≤2kπ+

    π

    2可得:kπ−

    π

    8≤x≤kπ+

    8.(8分)

    ∴函数f(x)在区间−

    π

    8≤x≤

    8上单调递增.(10分)

    又∵−

    π

    12,

    π

    6∈[−

    π

    8,

    8],

    ∴f(−

    π

    12)<f(

    π

    6).(12分)

    点评:

    本题考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.

    考点点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简公式的灵活运应,单调性的应用,考查计算能力,比较大小的问题,通常是利用单调性解决.