(2013•内江一模)定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各

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  • 解题思路:先化简f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2,再化简f(x)>g(x),再分类讨论:①当x∈[0,1)时,②当x∈[1,2)时③当x∈[2,2011]时,从而得出f(x)>g(x)在0≤x≤2011时的解集的长度;对于f(x)=g(x)和f(x)<g(x)进行类似的讨论即可.

    f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1,

    f(x)>g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1,即([x]-1)x>[x]2-1,

    当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x<1,∴x∈[0,1);

    当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0<0,∴x∈∅;

    当x∈[2,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x>[x]+1,∴x∈∅;

    ∴f(x)>g(x)在0≤x≤2012时的解集为[0,1),故d1=1,

    f(x)=g(x)⇒[x]x-[x]2=x-1,即([x]-1)x=[x]2-1,

    当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x=1,∴x∈∅;

    当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0=0,∴x∈[1,2);

    当x∈[2,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x=[x]+1,∴x∈∅;

    ∴f(x)=g(x)在0≤x≤2012时的解集为[1,2),故d2=1,

    f(x)<g(x)⇒[x]x-[x]2<x-1即([x]-1)x<[x]2-1,

    当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x>1,∴x∈∅;

    当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为0>0,∴x∈∅;

    当x∈[2,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x<[x]+1,∴x∈[2,2012];

    ∴f(x)<g(x)在0≤x≤2012时的解集为[2,2012],故d3=2010.

    故选B.

    点评:

    本题考点: 进行简单的合情推理.

    考点点评: 本题主要考查了抽象函数及其应用,同时考查了创新能力,以及分类讨论的思想和转化思想,属于中档题.