Question

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．P，Q分别是棱DD1，CD的中点．

Answer 1

解题思路：（1）证明：连接AC，根据三垂线定理可得：AC₁⊥BD并且AC₁⊥A₁B，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．

由P，Q分别是棱DD₁，CD的中点，可得PQ∥A₁B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．

（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算得到两个平面的二面角，进而得到一个等式，即可求出答案．

（1）证明：连接AC，所以AC是AC₁在底面内的射影，

因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所以AC⊥BD，

所以根据三垂线定理可得：AC₁⊥BD，同理可得：AC₁⊥A₁B，

因为BD∩A₁B=B，

所以AC₁⊥平面A₁BD．

因为P，Q分别是棱DD₁，CD的中点，

所以PQ∥CD₁，

所以PQ∥A₁B，

又因为A₁B⊂平面A₁BD，

所以PQ∥平面A₁BD．

（2）建立空间直角坐标系，如图所示：则A₁（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），设M（1，y，1），

所以

A1B＝(1，0，−1)，

BD＝(−1，1，0)，

BM＝(0，y，1)，

设平面A₁BD与平面BDM的法向量分别为：

n＝(x1，y1，z1)，

m＝(x2，y2，z2)，

所以

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查线面平行于线面垂直的判定定理，以及利用空间向量解决二面角的平面角的问题．