设S=﹛α1,α2,…αr﹜⊆T为线性无关组,证明

设S=﹛α1,α2,…αr﹜⊆T为线性无关组,证明：S为T的一个极大无关组

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很容易的,先证必要性,取任意β∈T,β可经α1,α2,…αr线性表出,故α1,α2,…αrβ线性相关,由极大无关组定义可知s=（α1,α2,…αr）是T的一极大无关组.再证充分性,S为T的一个极大无关组,故仍然由极大无关组定义,任意β∈T,α1,α2,…αrβ线性相关,再由α1,α2,…αr线性无关,β可经α1,α2,…αr线性表出（由α1,α2,…αrβ线性相关,存在k1,k2…kr+1不全为0,使得k1α1+k2α2+,…krαr+kr+1β=0,若kr+1为0则k1α1+k2α2+,…krαr=0,其中k1,k2…kr不全为0,则α1,α2,…αr线性相关,矛盾,故kr+1不为0,此时β=k1α1+k2α2+,…krαr/(-kr+1),即β可经α1,α2,…αr线性表出）