Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝12且Sn−1Sn−2Sn+1＝0．

Answer 1

解题思路：（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a₂，a₃，a₄；

（2）利用（1）猜想数列{S_n}的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可，

（1）当n=1时，S₁=a₁=[1/2]，

当n=2时，S₁S₂-2S₂+1=0，即a₁（a₁+a₂）-（a₁+a₂）+1=0，解得a₂=[1/6]．

当n=3时，S₃S₂-2S₃+1=0，即（a₁+a₂+a₃）（a₁+a₂）-（a₁+a₂+a₁）+1=0，解得a₃=[1/12]．

同理a₄=[1/20]．

（2）由（1）可得S1＝

1

2，S2＝

2

3，S3＝

3

4，S4＝

4

5，

猜想Sn＝

n

n+1，n=1，2，3，…

下面用数学归纳法证明

①n=1时，已经成立；

②假设n=k时结论成立即Sk＝

k

k+1，

当n=k+1时，S_kS_k+1-2S_k+1+1=0，得Sk+1＝

1

2−Sk=[k+1/k+2]．所以n=k+1时结论成立．

综上由①②可知，猜想Sn＝

n

n+1，n=1，2，3，…成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力．