Question

设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）．

Answer 1

解题思路：（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；

（2）不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立可转化成f（x）在x∈[-2，2]的最大值小于等于1，结合a的范围研究函数f（x）在x∈[-2，2]的最大值，建立不等式解之即可．

（I）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3(x−

a

3) (x+a)，

又a＞0，当x＜-a或x＞[a/3]时，f′（x）＞0

当−a＜x＜

a

3时，f′（x）＜0

∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（[a/3]，+∞），

单调减区间为（-a，[a/3]）

（II）∵a∈[3，6]由（I）知

a

3∈[1，2]，−a≤−3

又x∈[-2，2]

∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}

而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0

∵f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m

又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立

∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1

即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立

∵9-4a-2a²的最小值为-87

m≤-87

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题，属于中档题．