如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.甲同学认为:若MN=EF

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  • 解题思路:分别过点E作EG⊥BC于点G,过点M作MP⊥CD于点P,设EF与MN相交于点O,MP与EF相交于点Q,根据正方形的性质可得EG=MP,对甲同学的说法,先利用“HL”证明Rt△EFG和Rt△MNP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG,再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP,然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°,从而得到∠MOQ=90°,根据垂直的定义,MN⊥EF,当E向D移动,F向B移动,同样使MN=EF,此时就不垂直;对乙同学的说法,先推出∠EQM=∠EFG,∠EQM=∠MNP,然后得到∠EFG=∠MNP,然后利用“角角边”证明△EFG和△MNP全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=MN.

    如图,过点E作EG⊥BC于点G,过点M作MP⊥CD于点P,设EF与MN相交于点O,MP与EF相交于点Q,

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴EG=MP,

    对同学甲的说法:

    在Rt△EFG和Rt△MNP中,

    MN=EF

    EG=MP,

    ∴Rt△EFG≌Rt△MNP(HL),

    ∴∠MNP=∠EFG,

    ∵MP⊥CD,∠C=90°,

    ∴MP∥BC,

    ∴∠EQM=∠EFG=∠MNP,

    又∵∠MNP+∠NMP=90°,

    ∴∠EQM+∠NMP=90°,

    在△MOQ中,∠MOQ=180°-(∠EQM+∠NMP)=180°-90°=90°,

    ∴MN⊥EF,

    当E向D移动,F向B移动,同样使MN=EF,此时就不垂直,

    故甲不正确.

    对乙同学的说法:∵MP⊥CD,∠C=90°,

    ∴MP∥BC,

    ∴∠EQM=∠EFG,

    ∵MN⊥EF,

    ∴∠NMP+∠EQM=90°,

    又∵MP⊥CD,

    ∴∠NMP+∠MNP=90°,

    ∴∠EQM=∠MNP,

    ∴∠EFG=∠MNP,

    在△EFG和△MNP中,

    ∠EFG=∠MNP

    ∠EGF=∠MPN=90°

    EG=MP,

    ∴△EFG≌△MNP(AAS),

    ∴MN=EF,故乙同学的说法正确,

    综上所述,仅乙同学的说法正确.

    故选D.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,同角的余角相等的性质,作出辅助线,构造出全等三角形是解题的关键,通常情况下,求两边相等,或已知两边相等,都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解.