Question

正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|^2;+|PB|^2;+|PC|^2;最小

Answer 1

令A(-a/2,0),B(a/2,0),C(0,√3a/2)

令P(x,y)

则|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2

=[(x+a/2)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+y^2]+[x^2+(y-√3a/2)^2]

=3[x^2+(y-√3a/6)^2+a^2/3]

因x^2≥0,(y-√3a/6)^2≥0

则|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2≥a^2

此时x=0,y=√3a/6

即P(0,√3a/6)