请大家教教我有一点难度的提取公因式(全一点)

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  • 对于多项式a(m+n)+b(m+n),如果设c=m+n,那么这个式子就变为ac+bc,我们就可以提取公式法因式分解了.

    例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

    分析:这个多项式中的b+c是二项式,如果设b+c=m,则原式可变为

    2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m.

    这样,就把问题归结为公因式是单项式的因式,可以用提取公因式法进行因式分解了.

    解 设b+c=m,则

    2a(b+c)-3(b+c)=2a·m-3·m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3)

    指出:在把形如例1的多项式因式分解时,只需把(b+c)看作一个整体,作为公因式提出即可,可以不写出辅助元.

    (口答)说出下列各多项式中各项的公因式:

    (1)2m(a-b)-3n(a-b);

    (2)(3m-2)x+3(3m-2)y;

    (3)(y+5)(y-2)-(y+5);

    (4)4n(a+b)(a-b)-5(a+b)2;

    答:(1)a-b;(2)3m-2;(3)y+5;(4)a+b.

    问:多项式m(a-b)-5(b-a)是否有公因式?

    答:如果把多项式的第二项中的(b-a)变为-(a-b),则多项式就有公因式(a-b)了.

    例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式.

    分析:(x-2)与(2-x)只差一个符号,如果把2-x变号,即2-x=-(x-2),原多项式就有公因式(x-2)了.

    解 6(x-2)+x(2-x)=6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x).

    问:下列各题中的每两个多项式之间有什么关系?

    (1)a+b与-a-b; (2)(a-b)2与(b-a)2;

    (3)(a-b)3与(b-a)3; (4)(a-b)n与(b-a)n.

    答:

    (1)因为-a-b=-(a+b),所以a+b与-a-b互为相反数;

    (2)因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2,所以(a-b)2=(b-a)2;

    (3)因为(b-a)3=[-(a-b)]3,所以(b-a)3=-(a-b)3;

    (4)当n为偶数时,两式相等;当n为奇数时,两式互为相反数.

    例3 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式.

    分析:如果把a-b设为m,则原式变形为18bm2-12m3.

    问:这个多项式的公因式是什么?

    答:公因式是6m2.

    问:原多项式的公因式是什么?

    答:是6(a-b)2.

    解 18b(a-b)2-12(a-b)3 =6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)

    =6(a-b)2[3b-2(a-b)]

    =6(a-b)2(3b-2a+2b)

    =6(a-b)2(5b-2a).

    (口答)指出下列各多项式中各项的公因式:

    (1)3m(x-y)-9m2(y-x)2;

    (2)10(x-y)2+6(y-x)3;

    (3)5m(x-y)2-10m2(y-x)2;

    (4)12a3(m-n)3+10a2(n-m)3.

    答:

    (1)3m(x-y);(2)2(x-y)2;(3)5m(x-y)2;(4)2a3(m-n)3.

    例4 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式.

    问:这个多项式两项的系数5与10的公因数是什么?有没有公因式?

    答:5与10的公因数是5;因为(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2,所以(x-y)3与(y-x)2的公因式是(x-y)2.

    解 5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2).

    三、课堂练习

    1.把2(x-3)-(x2-3x)分解因式.

    2.把(x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)分解因式.

    答案:

    1. 2(x-3)-(x2-3x)

    =2(x-3)-x(x-3)

    =(x-3)(2-x).

    2. (x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)

    =(x-y)(x+2y)2-(x-y)2(x+2y)

    =(x-y)(x+2y)[x+2y-(x-y)]

    =(x-y)(x+2y)[x+2y-x+y]

    =(x-y)(x+2y)·3y

    =3y(x-y)(x+2y).

    四、小结

    1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直到可确定多项式的公因式.

    2.在提取多项式各项的公因式时,对数字系数和因式要分别进行考虑.如果是整数系数,提取它们的最大公约数;如果是分数系数,提取它们分母的最小公倍数;相同的因式应提取次数最低的.