对于多项式a(m+n)+b(m+n),如果设c=m+n,那么这个式子就变为ac+bc,我们就可以提取公式法因式分解了．
例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式．
分析：这个多项式中的b+c是二项式,如果设b+c=m,则原式可变为
2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m．
这样,就把问题归结为公因式是单项式的因式,可以用提取公因式法进行因式分解了．
解 设b+c=m,则
2a(b+c)-3(b+c)=2a·m-3·m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3)
指出：在把形如例1的多项式因式分解时,只需把(b+c)看作一个整体,作为公因式提出即可,可以不写出辅助元．
(口答)说出下列各多项式中各项的公因式：
(1)2m(a-b)-3n(a-b)；
(2)(3m-2)x+3(3m-2)y；
(3)(y+5)(y-2)-(y+5)；
(4)4n(a+b)(a-b)-5(a+b)2；
答：(1)a-b；(2)3m-2；(3)y+5；(4)a+b．
问：多项式m(a-b)-5(b-a)是否有公因式?
答：如果把多项式的第二项中的(b-a)变为-(a-b),则多项式就有公因式(a-b)了．
例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．
分析：(x-2)与(2-x)只差一个符号,如果把2-x变号,即2-x=-(x-2),原多项式就有公因式(x-2)了．
解 6(x-2)+x(2-x)=6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x)．
问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系?
(1)a+b与-a-b； (2)(a-b)2与(b-a)2；
(3)(a-b)3与(b-a)3； (4)(a-b)n与(b-a)n．
答：
(1)因为-a-b=-(a+b),所以a+b与-a-b互为相反数；
(2)因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2,所以(a-b)2=(b-a)2；
(3)因为(b-a)3=[-(a-b)]3,所以(b-a)3=-(a-b)3；
(4)当n为偶数时,两式相等；当n为奇数时,两式互为相反数．
例3 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式．
分析：如果把a-b设为m,则原式变形为18bm2-12m3．
问：这个多项式的公因式是什么?
答：公因式是6m2．
问：原多项式的公因式是什么?
答：是6(a-b)2．
解 18b(a-b)2-12(a-b)3 =6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)
=6(a-b)2[3b-2(a-b)]
=6(a-b)2(3b-2a+2b)
=6(a-b)2(5b-2a)．
(口答)指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)3m(x-y)-9m2(y-x)2；
(2)10(x-y)2+6(y-x)3；
(3)5m(x-y)2-10m2(y-x)2；
(4)12a3(m-n)3+10a2(n-m)3．
答：
(1)3m(x-y)；(2)2(x-y)2；(3)5m(x-y)2；(4)2a3(m-n)3．
例4 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式．
问：这个多项式两项的系数5与10的公因数是什么?有没有公因式?
答：5与10的公因数是5；因为(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2,所以(x-y)3与(y-x)2的公因式是(x-y)2．
解 5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2)．
三、课堂练习
1．把2(x-3)-(x2-3x)分解因式．
2．把(x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)分解因式．
答案：
1． 2(x-3)-(x2-3x)
=2(x-3)-x(x-3)
=(x-3)(2-x)．
2． (x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)
=(x-y)(x+2y)2-(x-y)2(x+2y)
=(x-y)(x+2y)[x+2y-(x-y)]
=(x-y)(x+2y)[x+2y-x+y]
=(x-y)(x+2y)·3y
=3y(x-y)(x+2y)．
四、小结
1．在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直到可确定多项式的公因式．
2．在提取多项式各项的公因式时,对数字系数和因式要分别进行考虑．如果是整数系数,提取它们的最大公约数；如果是分数系数,提取它们分母的最小公倍数；相同的因式应提取次数最低的．