只要求“积分区域相对座标系对称”是不行的!
这是因为被积分函数在每一个象限内的函数值不一样.为什么计算“积分区域相对座标系对称”面积或体积是可以这样?这就是因为它的被积分函数在每一个象限内的函数值都一样.
∫∫e^(x+y)dxdy的被积分函数e^(x+y)在每一个象限内的函数值不一样,只能分区域计算.计算过程如下(注意：∫(a,b)表示从a到b积分）：
∫∫e^(x+y)dxdy=∫(-1,0)e^xdx∫(-1-x,1+x)e^ydy
+∫(0,1)e^xdx∫(x-1,1-x)e^ydy
=∫(-1,0)e^x[e^(1+x)-e^(-1-x)]dx
+∫(0,1)e^x[e^(1-x)-e^(x-1)]dx
=∫(-1,0)[e^(1+2x)-e^(-1)]dx+∫(0,1)[e-e^(2x-1)]dx
=[e^(1+2x)/2-x/e]|(-1,0)+[ex-e^(2x-1)/2]|(0,1)
=(e-1/e)/2-1/e+e-(e-1/e)/2
=e-1/e.