Question

如图①,A、O、B三点共线,C、O、D三点共线且OA=OD、OB=OC、∠AOD=∠BOC=90°取一点P,使得PA=P

Answer 1

解①∵OA=OD,OB=OC,∠AOD=∠BOC=90°

∴△AOD和△BOC都是等腰三角形.

∴∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=45°

在△DCP和△BAP中,

∵PB=PD,PA=PC,AB=OA+OB=DC=OD+OC,

∴△DCP≌△BAP,∴∠PDC=∠PBA,∠PAB=∠PCD

在△DPA中,∠PDA=∠ODA+∠PDC=45°+∠PDC

∠PAD=∠OAD+∠PAB=45°+∠PAB

∠DPA=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°-(∠PDC+∠PAB)=90°-(∠PBA+∠PCD)

在△BPC中,∠PBC=∠OBC-∠PBA=45°-∠PBA

∠PCB=∠OCB-∠PCD=45°-∠PCD

∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°+(∠PBA+∠PCD)

∴∠DPA+∠BPC=90°-(∠PBA+∠PCD)+ 90°+(∠PBA+∠PCD)=180°

解②解法同①：只是将：∠AOD=∠BOC=90°改为∠AOD=∠BOC=120°将∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=45°改为∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=30°

就得到：∠DPA+∠BPC=120°-(∠PBA+∠PCD)+120°+(∠PBA+∠PCD)=240°

解③也解法同①：将α代入得∠DPA+∠BPC=2α

可见：∠DPA+∠BPC=∠AOD+∠BOC