Question

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又∠CDA=120°,

Answer 1

(1) ∵ PA⊥底面ABCD,BD包含于面ABCD,

∴ PA⊥BD

∵ ΔABC是正三角形,M是AC中点,

∴ AC⊥BD,

又 PA∩AC=A

∴ BD⊥面PAC

又 PC包含于面PAC

∴ BD⊥PC

(2) ∵ PA⊥AB, PA=AB=4,

∴ PB=4√2

所以 |PN|∶|NB|=1∶3

由题意,BD垂直平分AC,又∠ADC=120º, MC=2,

∴ MD=2/√3,

∴| MD|∶|MB|=2/√3∶2√3=1∶3

∴ |PN|∶|NB|=| MD|∶|MB|

又 MN、PD同在平面PBD内,

∴ MN∥BD

又 PD包含于面PDC,MN不包含于面PDC,

∴ MN∥面PDC.