解题思路：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）得b=0，通过对x的分段讨论求出函数的最大值，根据已知条件得到关于a的方程，求出a的值．
（2）将f（x）代入方程并将方程变形，将方程根的情况转换为二次方程的实根分布问题，结合二次函数的图象写出限制条件，求出m的范围．
（1）由f（-x）=-f（x）得b=0
∴f(x)＝
x
ax2+1
又由函数f（x）的定义域为R知a≥0
当x≤0时，f(x)≤0
当x＞0时，f(x)＝
x
ax2+1≤
x
2
ax2＝
1
2
a
当且仅当ax2=1即x＝
1
a时f(x)取得最大值
∴
1
a＝−即a＝1
综上a=1，b=0…（6分）
（2）由
x
x2+1+
mx
x+1＝0化简得
x(mx2+x+m+1)＝0
∴x＝0或mx2+x+m+1＝0
若0是方程mx2+x+m+1＝0，则m＝−1
此时方程mx2+x+m+1＝0的另一根为x＝1，不合题意
∴方程mx2+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．
当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论
①△＝0，x＝
1
2m∈(−1，1)得m＝
−1−
2
2
②令h（x）=mx2+x+m+1则h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0
综上所述实数m的取值范围为(−1，0)∪{
−1−
2
2}…（13分）
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数的值域；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查二次方程的实根分布问题，应该结合二次函数的图象，从对称轴与区间的位置关系、区间端点值的符号限制．