已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√6÷3,过点A(0,-b)和(a,0)的直线与原点

2个回答

  • (1)

    过AB是x/a-y/b=1

    即bx-ay-ab=0

    所以距离=|0-0-ab|/√(a2+b2)=√3/2

    a2b2/(a2+b2)=3/4

    4a2b2=3a2+3b2

    e=c/a

    e2=c2/a2=(a2-b2)/a2=(√6/3)2=2/3

    3a2-3b2=2a2

    a2=3b2

    代入4a2b2=3a2+3b2

    12b^4=12b2

    b>0

    所以b2=1,a2=3

    x2/3+y2=1

    (2)

    设CD的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)

    EC=(x1+1,y1),ED=(x2+1,y2),EC,ED是向量

    若E在以CD为直径的圆的圆周上,则有EC*ED=0

    (x1+1)(x2+1)+y1y2=0

    x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=0

    x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+2)(kx2+2)

    (k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0

    将y=kx+2代入椭圆方程

    x2/3+(kx+2)2=1

    (1/3+k2)x2+4kx+3=0

    x1+x2=-4k/(1/3+k2),x1x2=3/(1/3+k2)

    代入化简得

    3(k2+1)-4k(2k+1)+5(1/3+k2)=0

    (14/3)-4k=0

    k=7/6