如图,AB为⊙O的直径,C为圆上一点,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,过B作FB⊥AB交A

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  • 解题思路:(1)由AD平分∠BAC,得到∠1=∠2,而OD=OA,∠2=∠3,所以∠1=∠3,则有OD∥AE,而DE⊥AC,所以OD⊥DE;

    (2)过D作DP⊥AB,P为垂足,则DP=DE=3,由⊙O的半径为5,在Rt△OPD中,OD=5,DP=4,得OP=3,则AP=8,再由BF⊥AB,得DP∥FB,有[DP/FB]=[AP/AB],即可求出BF,

    求出AD,求出AE,根据△EDC∽△EAD得出比例式,即可求出AC.

    (1)证明:连OD,如图,

    ∵AD平分∠BAC,

    ∴∠1=∠2(等弦对等角),

    又∵OD=OA,得∠2=∠3(等角对等边),

    ∴∠1=∠3(等量代换),

    而DE⊥AC,

    ∴OD⊥DE,

    ∴DE是⊙O的切线;

    (2)过D作DP⊥AB,P为垂足,

    ∵AD为∠BAC的平分线,DE=4,

    ∴DP=DE=4,又⊙O的半径为5,

    在Rt△OPD中,OD=5,DP=4,得OP=3,则AP=8,

    ∵BF⊥AB,

    ∴DP∥FB,

    ∴[DP/FB]=[AP/AB],即[4/BF]=[8/10],

    ∴BF=5,

    在Rt△APD中,由勾股定理得:AD=

    82+42=4

    5,

    在Rt△AED中,由勾股定理得:AE=

    (4

    5)2−42=8,

    连接CD,

    ∵DE切⊙O于D,

    ∴∠EDC=∠EAD,

    ∵∠E=∠E,

    ∴△EDC∽△EAD,

    ∴[DE/AE]=[CE/DE],

    ∴[4/8]=[CE/4],

    ∴CE=2,

    ∴AC=8-2=6.

    点评:

    本题考点: 切线的判定.

    考点点评: 本题考查了圆的切线的判定方法.经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可;当没告诉直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要过圆心作直线的垂线,证明垂线段等于圆的半径.同时考查了平行线分线段成比例定理.