解题思路:(1)由AD平分∠BAC,得到∠1=∠2,而OD=OA,∠2=∠3,所以∠1=∠3,则有OD∥AE,而DE⊥AC,所以OD⊥DE;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,则DP=DE=3,由⊙O的半径为5,在Rt△OPD中,OD=5,DP=4,得OP=3,则AP=8,再由BF⊥AB,得DP∥FB,有[DP/FB]=[AP/AB],即可求出BF,
求出AD,求出AE,根据△EDC∽△EAD得出比例式,即可求出AC.
(1)证明:连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2(等弦对等角),
又∵OD=OA,得∠2=∠3(等角对等边),
∴∠1=∠3(等量代换),
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=4,
∴DP=DE=4,又⊙O的半径为5,
在Rt△OPD中,OD=5,DP=4,得OP=3,则AP=8,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴[DP/FB]=[AP/AB],即[4/BF]=[8/10],
∴BF=5,
在Rt△APD中,由勾股定理得:AD=
82+42=4
5,
在Rt△AED中,由勾股定理得:AE=
(4
5)2−42=8,
连接CD,
∵DE切⊙O于D,
∴∠EDC=∠EAD,
∵∠E=∠E,
∴△EDC∽△EAD,
∴[DE/AE]=[CE/DE],
∴[4/8]=[CE/4],
∴CE=2,
∴AC=8-2=6.
点评:
本题考点: 切线的判定.
考点点评: 本题考查了圆的切线的判定方法.经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可;当没告诉直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要过圆心作直线的垂线,证明垂线段等于圆的半径.同时考查了平行线分线段成比例定理.