(2005•徐州)有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长12cm.如

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  • 解题思路:(1)当x=0时,重合部分是等腰直角三角形AEF,因此面积为[1/2]×2×2=2.

    当x=10时,E与B重合,此时重合部分是等腰直角三角形BDG,面积与x=0时相同.

    (2)当0<x≤4时,F在AC上运动(包括与C重合).重合部分是直角梯形DEFG,易知:三角形ADG和AEF均为等腰直角三角形,因此DG=x,EF=x+2,可根据梯形的面积公式求出此时S,x的函数关系式.

    (3)当4<x<10时,F在BC上运动(与B、C不重合).要分类讨论:

    ①当G在AC上,F在BC上运动时,即当4<x<6时,重合部分是五边形CGDEF,可用三个等腰直角三角形ABC,ADG,BEF的面积差来求得.

    ②当G、F同在BC上运动时(包括G、C重合),即当6≤x<10时,解法同(2).

    根据上述两种情况可得出两个关于S,x的函数关系式,根据函数的性质和各自的自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的x的值.

    (1)2;2

    (2)在Rt△ADG中,∠A=45°,

    ∴DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,

    ∴S梯形DEFG=[1/2](x+x+2)×2=2x+2.

    ∴S=2x+2

    (3)①当4<x<6时(如图答1)

    GD=AD=x,EF=EB=12-(x+2)=10-x,

    则S△ADG=[1/2]AD•DG=[1/2]x2,S△BEF=[1/2](10-x)2

    而S△ABC=[1/2]×12×6=36,S△BEF=[1/2](10-x)2

    ∴S=36-[1/2]x2-[1/2](10-x)2=-x2+10x-14,

    S=-x2+10x-14=-(x-5)2+11,

    ∴当x=5,(4<x<6)时,S最大值=11.

    ②当6≤x<10时(如图答2),

    BD=DG=12-x,BE=EF=10-x,S=[1/2](12-x+10-x)×2=22-2x.

    S随x的增大而减小,所以S≤10.

    由①、②可得,当4<x<10时,S最大值=11.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题是运动性问题,考查了等腰直角三角形的性质,矩形的性质、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识.