Question

已知函数f（x）=lnx-[x−1/x]，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？

Answer 1

解题思路：假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．

假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x₀，lnx₀-

x0−1

x0），

∴切线方程：y+1=

x0−1

x02（x-1），将点T坐标代入得：lnx₀-

x0−1

x0=

(x0−1)2

x02，

即lnx₀+[3

x0-

1

x02-1=0，①

设g（x）=lnx+

3/x]-[1

x2-1，则g′（x）=

(x−1)(x−2)

x3．

令g'（x）=0，则x=1或x=2．

x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）

g'（x） + 0 - 0 +

g（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，

∴g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值g（2）=ln2+

1/4]，

∴g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．

∵g（[1/4]）=-ln4-3＜0，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，

根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，

故符合条件的切线有且仅有一条．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了导数的应用，考查利用导数研究函数单调区间，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．