Question

已知函数f（x）=（x-e）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝lnx?

e

x，f'（1）=-e，又f（1）=e-1，

∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-1）=-e（x-1），

即ex+y-2e+1=0．

（Ⅱ）①对于f′(x)＝lnx?

e

x，定义域为（0，+∞）．

当0＜x＜e时，lnx＜1，?

e

x＜?1，∴f′(x)＝lnx?

e

x＜0；

当x=e时，f'（x）=1-1=0；

当x＞e时，lnx＞1，?

e

x＞?1，∴f′(x)＝lnx?

e

x＞0

∴f（x）存在唯一的极值点e，∴m=e，则点P为（e，0）

②若x₁=e，则（1-lnx₁）（1-lnx₂）=0，与条件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1不符，

从而得x₁≠e．同理可得x₂≠e．

若x₁=x₂，则(1?lnx1)(1?lnx2)＝(1?lnx1)2≥0，

与条件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1不符，从而得x₁≠x₂．

由上可得点A，B，P两两不重合．

PA?

PB＝(x1?e，f(x1))?(x2?e，f(x2))

=（x₁-e）（x₂-e）+（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁-1）（lnx₂-1）

=（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁lnx₂-lnx₁x₂+2）=0

从而PA⊥PB，点A，B，P可构成直角三角形．