如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上

1个回答

  • (1)

    PA⊥底面ABC

    BC⊂平面ABC ⇒PA⊥BC

    BC⊥AC

    AC∩PA=A

    AC,PA⊂平PAC ⇒BC⊥平面PAC

    (2)建立空间直角坐标系如图,各点坐标分别为:

    P(0,0,1),B(0,1,0),C (

    3

    4 ,

    3

    4 ,0) D(0,

    1

    2 ,

    1

    2 ),E(

    3

    8 ,

    3

    8 ,

    1

    2 )

    AD =(0,

    1

    2 ,

    1

    2 ),

    AE =(

    3

    8 ,

    3

    8 ,

    1

    2 ) ,

    由DE⊥平面PAC可知,∠DAE即是所求的二面角的平面角.∴ cos<

    AD ,

    AE >=

    AD •

    AE

    |AD| |

    AE | =

    14

    4 ,

    故所求二面角的余弦值为

    14

    4

    (3)设D点的y轴坐标为a,DE⊥AE,DE⊥PE,当A-DE-P为直二面角时,PE⊥AE

    AE =(

    3

    3 a,a,1-a),

    PE =(

    3

    3 a,a,-a),得

    AE •

    PE =

    1

    3 a 2 + a 2 -a+ a 2 =0⇒a=

    3

    7

    ∴ E(

    3

    7 ,

    3

    7 ,

    4

    7 ) ,所以符合题意的E存在.