Question

已知函数f（x）=x −k2+k+2（k∈N），满足f（2）＜f（3）．

Answer 1

解题思路：（1）由f（2）＜f（3）求得-1＜k＜2．再根据k∈N，可得k=0，1，由此求得f（x）的解析式．

（2）由于g（x）=x²-（m-1）x+m，当x∈[0，2]时单调，故有

m−1

2

≥2或

m−1

2

≤0

，由此求得实数m的取值范围．

（1）由f（2）＜f（3），则-k²+k+2＞0，解得-1＜k＜2．

又k∈N，则k=0，1，此时，f（x）=x² ．

（2）由g（x）=f（x）-（m-1）x+m=x²-（m-1）x+m，

当x∈[0，2]时单调只需：

m−1

2≥2或

m−1

2≤0，

则m≥5，或m≤0，

即实数m的取值范围为（-∞，0]∪[5，+∞）．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查求函数的解析式，函数的单调性的应用，属于中档题．