解题思路:(1)过D作DF⊥BC于F,根据切线长定理得到DE=DA=x,CE=CB=y,在Rt△DFC中,利用勾股定理即可得到x,y的关系;
(2)连AE,根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°,而DA=DE,得到∠DAE=∠DEA,根据等角的余角相等得到∠F=∠DEF,则DE=EF,即可得到结论;
(3)分类讨论:当0<t≤2,当AQ=BP时,∠MQD=90°;当2<t≤8,分若∠QDM=90°,或∠QMD=90°,或∠DQM=90°进行讨论,构建三角形相似列出t的方程求解.
(1)过D作DF⊥BC于F,
∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴AD和BC为⊙O的切线,
而CD为⊙O的切线,
∴DE=DA=x,CE=CB=y,
而DF=AB=8,FC=y-x,
∴(x+y)2=82+(x-y)2,
∴y=[16/x];
(2)证明:连AE,
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,
而DA=DE,
∴∠DAE=∠DEA,
而∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°,
∴∠F=∠DEF,
∴DE=DF,
∴AD=[1/2]AF;
(3)当0<t≤2,
∵DQ=t,BP=t,
∴当AQ=BP时,∠MQD=90°,
∴t+t=2,
∴t=1;
当2<t≤8,
若∠QDM=90°,如图,
∴∠AQD=∠C,
∴Rt△AQD∽Rt△PCM,
∴AD:PM=AQ:PC,即AD:AQ=PM:PC,
而PM:PC=DF:FC=8:6=4:3,
∵AQ=t-2,
∴2:(t-2)=4:3,
∴t=[7/2];
若∠QMD=90°,如图,
过M作MH⊥AB,
∴∠HQM=∠C,
∴Rt△HQM∽Rt△PCM,
∴MH:MP=HQ:PC,即HM:HQ=MP:PC,
∴HM:HQ=MP:PC=DF:FC=4:3,
PC=8-t,PM=[4/3](8-t),
而MH=t,QH=BH-BQ=[4/3](8-t)-(10-t)=[2/3]-[1/3]t,
∴t:([2/3]-[1/3]t)=4:3,
∴t=[8/13]<2,舍去.
当∠DQM=90°,如图,
过M作MH⊥AB于H点,则PM=[4/3](8-t),MN=t,AQ=t-2,
∴QH=8-(t-2)-[4/3](8-t)=[1/3]t-[2/3],
∴Rt△AQD∽Rt△HMQ,
∴AD:QH=AQ:HM,即2:([1/3]t-[2/3])=(t-2):t,
∴t2-10t+4=0,t=5±
21,
∴t=5+
21>8(舍).
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;直角三角形的性质;直角梯形;切线的性质.
考点点评: 本题考查了三角形相似的判定与性质;也考查了直角梯形的性质和切线的性质以及分类讨论思想的运用.