(2014•常德三模)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=8,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O切CD于点E.

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  • 解题思路:(1)过D作DF⊥BC于F,根据切线长定理得到DE=DA=x,CE=CB=y,在Rt△DFC中,利用勾股定理即可得到x,y的关系;

    (2)连AE,根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°,而DA=DE,得到∠DAE=∠DEA,根据等角的余角相等得到∠F=∠DEF,则DE=EF,即可得到结论;

    (3)分类讨论:当0<t≤2,当AQ=BP时,∠MQD=90°;当2<t≤8,分若∠QDM=90°,或∠QMD=90°,或∠DQM=90°进行讨论,构建三角形相似列出t的方程求解.

    (1)过D作DF⊥BC于F,

    ∵AD∥BC,∠ABC=90°,

    ∴AD和BC为⊙O的切线,

    而CD为⊙O的切线,

    ∴DE=DA=x,CE=CB=y,

    而DF=AB=8,FC=y-x,

    ∴(x+y)2=82+(x-y)2

    ∴y=[16/x];

    (2)证明:连AE,

    ∵AB为直径,

    ∴∠AEB=90°,

    而DA=DE,

    ∴∠DAE=∠DEA,

    而∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°,

    ∴∠F=∠DEF,

    ∴DE=DF,

    ∴AD=[1/2]AF;

    (3)当0<t≤2,

    ∵DQ=t,BP=t,

    ∴当AQ=BP时,∠MQD=90°,

    ∴t+t=2,

    ∴t=1;

    当2<t≤8,

    若∠QDM=90°,如图,

    ∴∠AQD=∠C,

    ∴Rt△AQD∽Rt△PCM,

    ∴AD:PM=AQ:PC,即AD:AQ=PM:PC,

    而PM:PC=DF:FC=8:6=4:3,

    ∵AQ=t-2,

    ∴2:(t-2)=4:3,

    ∴t=[7/2];

    若∠QMD=90°,如图,

    过M作MH⊥AB,

    ∴∠HQM=∠C,

    ∴Rt△HQM∽Rt△PCM,

    ∴MH:MP=HQ:PC,即HM:HQ=MP:PC,

    ∴HM:HQ=MP:PC=DF:FC=4:3,

    PC=8-t,PM=[4/3](8-t),

    而MH=t,QH=BH-BQ=[4/3](8-t)-(10-t)=[2/3]-[1/3]t,

    ∴t:([2/3]-[1/3]t)=4:3,

    ∴t=[8/13]<2,舍去.

    当∠DQM=90°,如图,

    过M作MH⊥AB于H点,则PM=[4/3](8-t),MN=t,AQ=t-2,

    ∴QH=8-(t-2)-[4/3](8-t)=[1/3]t-[2/3],

    ∴Rt△AQD∽Rt△HMQ,

    ∴AD:QH=AQ:HM,即2:([1/3]t-[2/3])=(t-2):t,

    ∴t2-10t+4=0,t=5±

    21,

    ∴t=5+

    21>8(舍).

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;直角三角形的性质;直角梯形;切线的性质.

    考点点评: 本题考查了三角形相似的判定与性质;也考查了直角梯形的性质和切线的性质以及分类讨论思想的运用.