解题思路:(1)此题由3种情况,①从假设△BPQ是等腰三角形入手.求证△BMP∽△BCD,利用对应边成比例即可求得t的值.
②在Rt△BMP中,利用cos∠DBC=[BM/BP=
BC
BD
=
4
5],解得t.
③如图,当BQ=PQ时,自点Q向BD引垂线,垂足为N.利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其对应边成比例即可求得t.
(2)若△PBQ为等边三角形,则BQ=BP=PQ.由②,知当BQ=BP时,
t=
5
2
.由①,知当BP=PQ时,
t=
40
13
.而BQ=BP与BP=PQ不能同时成
(1)若△BPQ是等腰三角形.
①如图,当PB=PQ时,自点P向BC引垂线,
垂足为M,则有BM=MQ.
方法一:
由△BMP∽△BCD,得[BM/BC=
BP
BD],
∴BM=
BP•BC
BD=
(5−t)•4
5=
20−4t
5.
∴[20−4t/5=
t
2],解得t=
40
13.
方法二:
在Rt△BMP中,
BP=5−t,BM=
t
2,cos∠DBC=
BM
BP=
BC
BD=
4
5.
∴
t
2
5−t=
4
5,解得t=
40
13.
②当BQ=BP时,有t=5-t,解得t=
5
2.
③如图,当BQ=PQ时,自点Q向BD引垂线,垂足为N.
由Rt△BNQ∽Rt△BCD,得[BN/BC=
BQ
BD].
∴
5−t
2
4=
t
5,解得t=
25
13.
(2)不能.
若△PBQ为等边三角形,则BQ=BP=PQ.
由(2)②,知当BQ=BP时,t=
5
2.
由(2)①,知当BP=PQ时,t=
40
13.
∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立,
∴△PBQ不可能为等边三角形.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定.
考点点评: 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性较强,是一道难题.
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