解题思路：（I）根据已知中函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．我们易得f'（-1）=0，f'（1）=2，由此构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．
（II）根据（I）的结论我们易化简关于x的方程f（x）+x3-2x2-x+m=0，构造函数g（x）=[2/3
x
3
−
3
2
x
2
+x+m分析函数的单调性后，我们可将关于x的方程f（x）+x3-2x2-x+m=0在[
1
2]，2]上恰有两个不相等的实数根，转化为不等式问题，解关于m的不等式组，即可求出实数m的取值范围．
（I）∵函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，
∴f'（-1）=3a-2b+2=0
又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=-[1/3]，b=[1/2]
0在（1，2）内有根．（6分）
（II）由（I）得方程f（x）+x3-2x2-x+m=0可化为：
[2/3x3−
3
2x2+x+m＝0
令g（x）=
2
3x3−
3
2x2+x+m
则g'（x）=2x2-3x+1
∵当x∈[
1
2]，2]时，g'（x）≤0
故g（x）=[2/3x3−
3
2x2+x+m在[
1
2]，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
若关于x的方程f（x）+x3-2x2-x+m=0在[[1/2]，2]上恰有两个不相等的实数根，
则
g(
1
2)≥0
g(2)≥0
g(1)＜0
解得：−
5
24≤m＜−
1
6
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知构造关于a，b的方程，解方程求出函数的解析式，是解答本题的关键．
1年前
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