已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）a - 知识问答

已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）．

1个回答

解题思路：（1）根据题中已知条件化简公式可得出
a
n
2n+1
与
a
n−1
2n−1
的关系，即可证明数列
{
a
n
2n+1
}
是等差数列；
（2）根据（1）中求得的
a
n
2n+1
与
a
n−1
2n−1
的关系，即可求出
a
n
2n+1
的表达式，进而求出数列{a_n}的通项；
（3）根据数列{a_n}的通项先求出
1
a
n
的表达式，然后求出前n项和的表达式，进而可以求出
lim
n→∞
(
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
)
的值．
（1）∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=8n²-2
即
an
2n+1−
an−1
2n−1＝2(n＞1)…（4分）
∵
a1
2+1＝1，
∴{
an
2n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列…（5分）
（2）∵
an
2n+1＝1+(n−1)×2＝2n−1，
∴a_n=4n²-1…（9分）
（3）∵[1
an＝
1
4n2−1＝
1
(2n−1)(2n+1)＝
1/2(
1
2n−1−
1
2n+1)…（11分）
∴
1
a1+
1
a2+…+
1
an＝
1
2(1−
1
3+
1
3−
1
5+…+
1
2n−1−
1
2n+1)…（12分）
∴
lim
n→∞(
1
a1+
1
a2+…+
1
an)=
lim
n→∞
1
2(1−
1
2n+1)＝
1
2]…（14分）
点评：
本题考点：数列递推式；数列的极限．
考点点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列的极限，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地高考的热点，属于中档题．

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