已知x,y∈R,满足2≤y≤4-x,x≥1,则x2+y2+2x−2y+2xy−x+y−1的最大值为______.

3个回答

  • 解题思路:把原式化简可得[x+1/y−1+

    y−1

    x+1],利用可行域和斜率计算公式可得[y−1/x+1]的取值范围,再利用导数即可得出最大值.

    由x,y满足2≤y≤4-x,x≥1,

    画出可行域如图所示.

    则A(2,2),B(1,3).

    x2+y2+2x−2y+2

    xy−x+y−1=

    (x+1)2+(y−1)2

    (x+1)(y−1)=[x+1/y−1+

    y−1

    x+1],

    令k=[y−1/x+1],

    则k表示可行域内的任意点Q(x,y)与点P(-1,1)的斜率.

    而kPA=[2−1

    2−(−1)=

    1/3],kPB=

    3−1

    1−(−1)=1,

    ∴[1/3≤k≤1,

    令f(k)=k+

    1

    k],

    则f′(k)=1−

    1

    k2=

    k2−1

    k2≤0.

    ∴函数f(k)单调递减,因此当k=[1/3]时,f(k)取得最大值,f(

    1

    3)=

    1

    3+3=

    10

    3.

    故答案为:[10/3].

    点评:

    本题考点: 基本不等式.

    考点点评: 本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.

    1年前

    7

    brucejay

    幼苗

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    原式=[(x+1)²+(y-1)²]/[(x+1)(y-1)]

    记a=x+1, b=y-1, 有2=

    则原式=(a²+b²)/(ab)=t+1/t, 这里记t=b/a, 有1/3=

    当t=1时原式取最小值2

    最大值在t的区间端点时取得:

    当t=1/3时,原式=10/...

    1年前

    2

    开宝马坐奔驰

    幼苗

    共回答了29个问题

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    当x=1,y=3时取最小值:2(1)在坐标系中画出满足条件2<=y<=4-x,x>=1的点的区域(2)根据线性规划可得1/3<=(y-1)/(x+1)<=1(3)由基本不等式可得(x+1)/(y-1)+(y-1)/(x+1)的最小值为2

    1年前

    0

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