为什么x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0加入参数λ方程代表恒过两点的所有圆?

2个回答

  • 这个是圆系方程:

    定义:在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程.

    简要说明

    在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,若圆心(a,b)为定点,r为参变数,则它表示同心圆的圆系方程.若r是常量,a(或b)为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上(平行于x轴或y轴)的圆系方程.

    经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0

    的交点圆系方程为:

    x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

    经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程

    x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

    类型1:方程 表示半径为定长 的圆系 类型2:方程 表示以定点为圆心的同心圆系.

    拓展1:方程 表示圆心落在定直线上,半径为r(r为正数) 的圆系.

    拓展2:方程 表示圆心落在任意直线上,半径为定长 的圆系.

    拓展3:方程 表示圆心落在直线 上的圆系.

    拓展4:方程 表示圆心落在圆 上,半径为 的圆系.

    类型3:共轴圆系

    若⊙C1与⊙C2交于A、B两点,则直线AB称为这两个圆的根轴.经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系,这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB,因此我们称这种圆系为共轴圆系.

    理1.例题:求x+(m+1)y+m=0所过定点

    可将原式化为x+y+m(y+1)=0

    即为x+y=0;y+1=0

    解得恒过点(1,-1)

    由此我们理解到当除了x,y(为一次幂)还有一未知数m时,依然可求得一定点.

    由此可联想:当有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点.

    过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为:

    x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0

    理解2:有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①式

    x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②式

    ①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0

    此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立)

    加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆.

    例题

    例2:求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程.

    分析:本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大.自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行.为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程.则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题.

    圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为

    x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0,即2x+2y-11=0

    过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为

    x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0,即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0

    依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上.即-2λ-2λ+11=0,则λ=-11/4

    代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8