解题思路：（1）已知抛物线解析式，求出A1，A2，A3三点的坐标，根据图中几何关系把所求三角形的面积，转化为一个大梯形面积减去两个小梯形的面积，从而求出三角形的面积．第二问与第一问解法一样；
（3）由y1，y2…y5的表达式，归纳出yn的表达式，同时推出面积公式Sn，然后求和．
（4）由（3）的结论，先求和再求n是否存在最大值．
（1）∵A1（1，[1/4]），A2（2，1），A3（3，[9/4]），（1分）
∴S△A1A2A3=S梯形A1ACA3-S梯形A1ABA2-S梯形A2BCA3=
(
1
4+
9
4)×2
2−
(
1
4+1)×1
2−
(1+
9
4)×1
2＝
1
4．
（3分）
（2）①S△A1A2A3＝
1
4，（4分）
②S△A1A2A3＝α．（5分）
（3）由规律知：yn＝
1
n(n+1)x2−
1
(2n−1)(n+2)x或写成（yn＝
1
n2+nx2−
1
2n2+3n−2x），（6分）
由（1）（2）知：S1+S2+S3+…+S10=[1/2+
1
6+
1
12+…+
1
110]=1−
1
2+
1
2−
1
3+
1
3−
1
4+…+
1
10−
1
11＝1−
1
11=[10/11]．（8分）
（4）存在，
由上知：Sn-10+Sn-9+Sn-8+…Sn=[1
(n−10)(n−9)+
1
(n−9)(n−8)+
1
(n−8)(n−7)+…+
1
n(n+1)=
1/n−10−
1
n−9+
1
n−9−
1
n−8+
1
n−8−
1
n−7+…+
1
n−
1
n+1]=[1/n−10−
1
n+1＝
11
n2−9n−10]，（9分）
∵Sn−10+Sn−9+Sn−8+…+Sn≥
11
242
∴[11
n2−9n−10≥
11/242]，
∵n＞10，
∴n2-9n-10＞0，
∴n2-9n-10≤242，（10分）
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，（11分）
∴存在n的最大值，其值为n=21．（12分）
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题是一道规律题，考查抛物线基本性质，巧妙用几何关系，求三角形面积，归纳出规律然后求和，最后一问探究正整数n是否存在最大值，转化为求函数最值问题．