依题意,可画出函数的曲线（见插图）
(1) 求定义域：
根据对数函数性质,真数sin2x > 0
所以,2x∈ ( 2kπ, 2kπ+π ),其中k为任意整数.
所以,原函数定义域为 ( kπ, kπ + π/2 ),其中k为任意整数.
(2) 求值域：
三角函数值域为 [ -1,1 ],即 - 1 < sin2x ≤ 1
而由上题可知sin2x > 0 ,即0 < sin2x ≤ 1
因为,以0.5为底的对数函数是定义在( 0 , +∞ )上的减函数（如图）
同时取以0.5为底的对数,得log0.5（sin2x）≥ 0
即,原函数的值域为 [0, +∞）
(3) 求单调区间：
令g(x) = sin2x,
由(1)得,g(x)的定义域为 ( kπ, kπ+π/2 ) ,其中k为任意整数（下同）.
根据三角函数性质,正弦函数在 ( 2kπ, 2kπ+π/2 ]上单调递增, 在 ( 2kπ+π/2 , 2kπ+π )上单调递减
即,g(x)=sin2x在 ( kπ, kπ+π/4 ]上单调递增, 在 ( kπ+π/4 , kπ+π/2 )上单调递减.
而,以0.5为底的对数函数F(x)=log0.5（x）是单调减函数.
所以原函数 f（x）= F [ g (2x) ]的单调区间为：
在( kπ, kπ+π/4 ]上单调递减, 在 ( kπ+π/4 , kπ+π/2 )上单调递增.
(4) 求奇偶性：
f( - x ) = log0.5 [sin(-2x)]= log0.5（- sin2x）
由（2）得,0 < sin2x ≤ 1
即,- sin2x < 0
根据对数的定义,真数必须为正数,
所以,f( - x ) = log0.5（- sin2x） 无意义.
即原函数不存在奇偶性
（注释：不存在奇偶性的情况,就是说该函数的曲线即不关于y轴对称,也不关于原点对称）
(5) 求周期性：
由(1)得,原函数定义域为 ( kπ, kπ + π/2 ),其中k为任意整数.
f(x+π) = log0.5 [ sin2(x+π) ]
= log0.5 （sin(2x+2π）
= log0.5 （sin2x）
= f(x)
所以,π是原函数f(x)的最小正周期.