Question

定义一种新运算*，满足n*k=nλk-1（n，k∈N*λ为非零常数）．

Answer 1

解题思路：（1）根据定义：n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数）表示出a_n，a_n+1，只证a_n+1-a_n为常数即可；

（2）根据定义表示出b_k，b_k+1，只需证明

b

k+1

b

k

是常数；

（3）根据定义表示出c_n，分λ=1，λ≠1两种情况讨论，λ=1时易求；λ≠1时，利用错位相减法可求得S_n；

（1）证明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数），

∴a_n=n*k=nλ^k-1（n=1，2，3，…），

∴a_n+1-a_n=（n+1）λ^k-1-nλ^k-1=λ^k-1．

∵k，λ为非零常数，∴数列{a_n}是等差数列．

（2）证明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ为非零常数），

∴b_k=n*k=nλ^k-1（k=1，2，3，…），

∴

bk+1

bk=

nλk

nλk−1=λ．

∵λ为非零常数，

∴数列{b_k}是等比数列．

（3）∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ为非零常数），

∴n*n=nλ^n-1．

则S_n=c₁+c₂+…+c_n=λ⁰+2λ+3λ²+…+nλ^n-1，

①当λ=1时，Sn＝1+2+3+…+n＝

n(n+1)

2．

②当λ≠1时，λS_n=λ+2λ²+3λ³+…+nλⁿ．

①-②得：（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-nλⁿ，

∴S_n=

1−λn

(1−λ)2-

nλn

1−λ，

综上可知，S_n=

n(n+1)

2，当λ＝1时

1−λn

(1−λ)2−

nλn

1−λ，当λ≠1时．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的求和、等差等比数列的定义，属中档题，准确理解所给运算的定义是解决本题的关键．